Eeldused
Eelmises näites vajasime ainult üht tuletuste ahelat, milles näitasime, et esimene avaldis ülesandes on võrdne viimase saadud avaldisega. Vahel on aga probleemid märksa keerulisemad, mitte nii lihtsad ja otseselt lahendatavad kui võrrandid. Niisugustes ülesannetes oleks vaja leida kõige optimaalsem lahendusviis. Samuti peame mõtlema, kuidas ära kasutada kogu ülesandest saadav informatsioon.
Sellistel juhtudel tuleb kasutada laiemat lahenduskäiku. Lahendamine algab igal juhul probleemi kirjeldamisega (ülesanne, mida lahendame) ning seejärel lisatakse kõik ülesandes antud tingimused/andmed: eeldused.
Ülesanne märgitakse sümboliga (\bullet) ja iga eeldus tähistatakse ümarsuluga (a), (b),… või (1), (2),… või (eeldus1), (eeldus2),… või miinusmärgiga -. Eeldused on tunnused, millele saab hiljem lahenduskäiku konstrueerides viidata. Nende välja kirjutamise järel võib alustada tegeliku lahenduskäiguga, mida tähistatakse sümboliga \(\Vdash\) (tõestus). Lahenduskäik lõpetatakse märgiga \(\square\) (tõestatud või MOTT), mis näitab, et ülesanne on lahendatud. Nagu võrrandi puhul, kirjutatakse ülesanne kahte veergu: esimesse veergu kirjutatakse seosemärgid (nagu eelmises näites =) ja muud spetsiaalsed märgid (\(\bullet\), \(\Vdash\)). Teises veerus on liikmed, avaldised ning selgitused tegevusele.
Uurime järgmist ülesannet:
Ülesanne:
Samm 1:
Struktuurne lahendus:
Alustame ülesande kirjeldamisest, st paneme kirja, millist probleemi me lahendama hakkame
| \(\bullet\) | Kui palju värvi me vajame põranda katmiseks? |
Seejärel paneme kirja ülesandes antud informatsiooni. Me teame:
- et põrandat tuleb värvida kaks korda;
- tubade mõõtmeid;
- keskmist värvikulu.
See info lisatakse lahendusse eeldustena. Nii on kõik vajalikud andmed ühes kohas.
| \(\bullet\) | Kui palju värvi me vajame põranda katmiseks? |
| (a) | põrand värvitakse kaks korda |
| (b) | elutuba on \(5m\) pikk ja \(3m\) lai |
| (c) | köök on \(2m\) pikk ja \(1m\) lai |
| (d) | keskmine värvikulu on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
Eelduste kirjapaneku järel siirdutakse ülesande tegeliku lahendamise juurde. Lahenduse/ tõestuse algus märgitakse sümboliga \(\Vdash\), mille järele kirjutatakse probleem, mida tahetakse lahendada. Tekstülesande lahendamisel on üheks suurimaks probleemiks arusaamine, mida me tegelikult soovime leida/ lahendada. Kui vaatame antud ülesannet, näeme küsimust „Kui palju värvi peab Pelle ostma...“. Seega meie tahame teada, kui palju värvi vaja on.
| \(\bullet\) | Kui palju värvi me vajame põranda katmiseks? |
| (a) | põrand värvitakse kaks korda |
| (b) | elutuba on \(5m\) pikk ja \(3m\) lai |
| (c) | köök on \(2m\) pikk ja \(1m\) lai |
| (d) | keskmine värvikulu on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | värvikulu |
Seejärel lahendame samm-sammult probleemi. Kuidas me saame kasutada antud informatsiooni värvi koguse leidmiseks? Vajamineva koguse jaoks on vaja leida ruumide pindalad ning keskmine värvikulu.
| \(\bullet\) | Kui palju värvi me vajame põranda katmiseks? |
| (a) | põrand värvitakse kaks korda |
| (b) | elutuba on \(5m\) pikk ja \(3m\) lai |
| (c) | köök on \(2m\) pikk ja \(1m\) lai |
| (d) | keskmine värvikulu on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | värvikulu |
| \(=\) | {värvikulu (\(l\) ) = pindala (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) keskmine värvikulu (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), eeldusest (a) saame teada, et pindala on 2\(\cdot\) põrandapindala ning eeldusest (d) saame keskmise värvikulu} |
| \(2\cdot\) põrandapindala \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) |
Põrandapindala saab arvutada põranda mõõtmeid kasutades.
| \(\bullet\) | Kui palju värvi me vajame põranda katmiseks? |
| (a) | põrand värvitakse kaks korda |
| (b) | elutuba on \(5m\) pikk ja \(3m\) lai |
| (c) | köök on \(2m\) pikk ja \(1m\) lai |
| (d) | keskmine värvikulu on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | värvikulu |
| \(=\) | {värvikulu (\(l\) ) = pindala (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) keskmine värvikulu (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), eeldusest (a) saame teada, et pindala on 2\(\cdot\) põrandapindala ning eeldusest (d) saame keskmise värvikulu} |
| \(2\cdot\) põrandapindala \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {põrandapindala= köögi põranda pindala + elutoa põranda pindala. Pindala valem on pikkus \(\cdot\) laius, mõõtmed saame eeldustest (b) ja (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) |
Seejärel arvutame ning lihtsustame vastuse.
| \(\bullet\) | Kui palju värvi me vajame põranda katmiseks? |
| (a) | põrand värvitakse kaks korda |
| (b) | elutuba on \(5m\) pikk ja \(3m\) lai |
| (c) | köök on \(2m\) pikk ja \(1m\) lai |
| (d) | keskmine värvikulu on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | värvikulu |
| \(=\) | {värvikulu (\(l\) ) = pindala (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) keskmine värvikulu (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), eeldusest (a) saame teada, et pindala on 2\(\cdot\) põrandapindala ning eeldusest (d) saame keskmise värvikulu} |
| \(2\cdot\) põrandapindala \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {põrandapindala= köögi põranda pindala + elutoa põranda pindala. Pindala valem on pikkus \(\cdot\) laius, mõõtmed saame eeldustest (b) ja (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | \(=\) | {arvutame} |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {taandame \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
Pikkade muutujanimede asemel võime kasutada ka tähti. Kui me märgistame vajamineva koguse tähega \(x\) ja keskmise värvikoguse tähega \(k\) , näeb lahendus välja järgmine:
| \(\bullet\) | Kui palju värvi (\(x\)) me vajame põranda katmiseks? |
| (a) | põrand värvitakse kaks korda |
| (b) | elutuba on \(5m\) pikk ja \(3m\) lai |
| (c) | köök on \(2m\) pikk ja \(1m\) lai |
| (d) | keskmine värvikulu \(k\) on \(\frac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | \(x\) |
| \(=\) | {\(x\) (\(l\) ) = pindala (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) \(k\) (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), eeldusest (a) saame teada, et pindala on 2\(\cdot\) põrandapindala ning eeldusest (d) saame keskmise värvikulu} |
| \(2\cdot\) põrandapindala \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {põranda pindala= köögi põranda pindala + elutoa põranda pindala. Pindala valem on pikkus \(\cdot\) laius, mõõtmed saame eeldustest (b) ja (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | \(=\) | {arvutame} |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {taandame \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
