Oletukset
Ensimmäinen esimerkki (yhtälö) näytti ainoastaan itse todistusketjun, eli ketju josta tehtiin sellainen johtopäätös, että ensimmäinen termin on ekvivalentti viimeisen termin kanssa. Usein tehtävänanto ei ole yhtä lyhyt ja suoraviivainen kuin yhtälönratkaisussa, vaan joudutaan ensin miettimään, mikä on ratkaistava tehtävä. Lisäksi, tehtävätekstistä voidaan saada tärkeää lisätietoa, jota tarvitaan tehtävän ratkaisemiseksi.
Näissä tapauksissa voidaan käyttää yleisempää päättelyketjurakennetta. Ketju alkaa myös tässä tapauksessa tehtävän kuvauksella, jonka jälkeen listataan tehtävässä annetut tiedot, eli kaikki mitä jo tiedetään, oletuksina.
Tehtävä merkitään \(\bullet\)-merkillä ja jokainen oletus merkitään joko sulkeissa olevalla tunnisteella (a), (b),... , (olet1), (olet2), ... tai miinusmerkillä \(-\). Oletukset nimetään yksilöllisin tunnisten siksi, että myöhemmin voidaan viitata niihin päättelyketjun perusteluissa. Mahdollisten oletusten jälkeen voidaan aloittaa varsinainen ratkaisu, joka merkitään \(\Vdash\)-merkillä ("todistetaan"). Päättelyketju lopetetaan merkillä \(\square\) ("mikä piti todistaa"), joka osoittaa että tehtävä on ratkaistu. Kuten aikaisemmin, ratkaisu kirjoitetaan kahteen sarakkeeseen: ensimmäiseen kirjoitetaan relaatio- (alla olevassa esimerkissä \(=\)) ja muut erikoismerkit (\(\bullet\), \(\Vdash\)), kun taas toinen sarake on varattu termeille ja perusteluille.
Tutkitaan seuraavaa tehtävää:
Tehtävä:
Vaihe 1:
Rakenteinen päättelyketju:
Aloitetaan tehtävän kuvauksella ja aloitetaan kirjoittamaan ratkaisua rakenteisena päättelyketjuna lisäämällä siihen tehtävä.
| \(\bullet\) | Kuinka paljon maalia tarvitsee ostaa lattioiden maalaamiseksi |
Tehtävätekstistä saadaan paljon tärkeää tietoa, jota tarvitaan tehtävän ratkaisemiseksi. Tiedetään, että
- lattiat tulee maalata kahteen kertaan,
- huoneiden mitat, ja
- maalinkulutus.
Nämä tiedot lisätään ratkaisuun oletuksina, jonka jälkeen ratkaisussa on kaikki tarvittava tieto samassa paikassa.
| \(\bullet\) | Kuinka paljon maalia tarvitsee ostaa lattioiden maalaamiseksi |
| (a) | lattiat maalataan kahteen kertaan ja |
| (b) | olohuone on \(5m\) pitkä ja \(3m\) leveä ja |
| (c) | keittiö on \(2m\) pitkä ja \(1m\) leveä ja |
| (d) | keskimääräinen maalinkulutus on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
Oletusten listauksen jälkeen siirrytään varsinaiseen ratkaisuun. Merkitään ratkaisun/todistuksen alkua \(\Vdash\)-merkillä ja määritellän mitä halutaan laskea. Sanallisissa tehtävissä joudutaan usein miettimään mitä oikeasti halutaan tietää. Jos vilkaistaan tehtävätekstiä huomataan että kysymys on "Kuinka paljon maalia Pellen pitää ostaa..." Halutaan siis laskea maalimenekki.
| \(\bullet\) | Kuinka paljon maalia tarvitsee ostaa lattioiden maalaamiseksi |
| (a) | lattiat maalataan kahteen kertaan ja |
| (b) | olohuone on \(5m\) pitkä ja \(3m\) leveä ja |
| (c) | keittiö on \(2m\) pitkä ja \(1m\) leveä ja |
| (d) | keskimääräinen maalinkulutus on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | tarvittava maalin määrä |
Tämän jälkeen lähdetään tehtävää ratkaisemaan askeleittain. Miten näillä tiedolla voidaan saada tarvittava maalin määrä laskettua? Se voidaan laskea maalattavan pinnan pinta-alan ja keskimääräisen maalinkulutuksen perusteella.
| \(\bullet\) | Kuinka paljon maalia tarvitsee ostaa lattioiden maalaamiseksi |
| (a) | lattiat maalataan kahteen kertaan ja |
| (b) | olohuone on \(5m\) pitkä ja \(3m\) leveä ja |
| (c) | keittiö on \(2m\) pitkä ja \(1m\) leveä ja |
| (d) | keskimääräinen maalinkulutus on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | tarvittava maalin määrä |
| \(=\) | {tarvittava maalin määrä (\(l\) ) = pinta-ala (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) keskimääräinen maalinkulutus (\(\frac{l}{m^{2}}\) ),oletuksesta (a) saadan tieto, että pinta-ala on 2\(\cdot\) lattiapinta-ala ja oletuksesta (d) saadaan kulutus} |
| \(2\cdot\) lattipinta-ala \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) |
Lattiapinta-ala voidaan laskea lattioiden mittojen perusteella.
| \(\bullet\) | Kuinka paljon maalia tarvitsee ostaa lattioiden maalaamiseksi |
| (a) | lattiat maalataan kahteen kertaan ja |
| (b) | olohuone on \(5m\) pitkä ja \(3m\) leveä ja |
| (c) | keittiö on \(2m\) pitkä ja \(1m\) leveä ja |
| (d) | keskimääräinen maalinkulutus on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | tarvittava maalin määrä |
| \(=\) | {tarvittava maalin määrä (\(l\) ) = pinta-ala (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) keskimääräinen maalinkulutus (\(\frac{l}{m^{2}}\) ),oletuksesta (a) saadan tieto, että pinta-ala on 2\(\cdot\) lattiapinta-ala ja oletuksesta (d) saadaan kulutus} |
| \(2\cdot\) lattipinta-ala \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {lattiapinta-ala = keittiön pinta-ala + olohuoneen pinta-ala. Pinta-alat lasketaan kaavalla pituus \(\cdot\) leveys, mitat saadaan oletuksista (b), (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) |
Seuraavaksi lasketaan laskut.
| \(\bullet\) | Kuinka paljon maalia tarvitsee ostaa lattioiden maalaamiseksi |
| (a) | lattiat maalataan kahteen kertaan ja |
| (b) | olohuone on \(5m\) pitkä ja \(3m\) leveä ja |
| (c) | keittiö on \(2m\) pitkä ja \(1m\) leveä ja |
| (d) | keskimääräinen maalinkulutus on \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | tarvittava maalin määrä |
| \(=\) | {tarvittava maalin määrä (\(l\) ) = pinta-ala (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) keskimääräinen maalinkulutus (\(\frac{l}{m^{2}}\) ),oletuksesta (a) saadan tieto, että pinta-ala on 2\(\cdot\) lattiapinta-ala ja oletuksesta (d) saadaan kulutus} |
| \(2\cdot\) lattipinta-ala \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {lattiapinta-ala = keittiön pinta-ala + olohuoneen pinta-ala. Pinta-alat lasketaan kaavalla pituus \(\cdot\) leveys, mitat saadaan oletuksista (b), (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | \(=\) | {Lasketaan laskut} |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {Lasketaan ja pyöristetään \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
Pitkien muuttujanimien sijaan voidaan tietysti myös käyttää lyhenteitä. Jos esim. merkitään kysyttyä maalin määrää muuttujalla \(x\) ja keskimääräinen maalinkulutusta muuttujalla \(k\), ratkaisu näyttää seuraavanlaiselta:
| \(\bullet\) | Kuinka paljon maalia (\(x\)) tarvitsee ostaa lattioiden maalaamiseksi |
| (a) | lattiat maalataan kahteen kertaan ja |
| (b) | olohuone on \(5m\) pitkä ja \(3m\) leveä ja |
| (c) | keittiö on \(2m\) pitkä ja \(1m\) leveä ja |
| (d) | keskimääräinen maalinkulutus \(k=\frac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | tarvittava maalin määrä |
| \(=\) | {\(x\) (\(l\) ) = pinta-ala (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) \(k\) (\(\frac{l}{m^{2}}\) ),oletuksesta (a) saadan tieto, että pinta-ala on 2\(\cdot\) lattiapinta-ala ja oletuksesta (d) saadaan (\(k\))} |
| \(2\cdot\) lattipinta-ala \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {lattiapinta-ala = keittiön pinta-ala + olohuoneen pinta-ala. Pinta-alat lasketaan kaavalla pituus \(\cdot\) leveys, mitat saadaan oletuksista (b), (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | \(=\) | {Lasketaan laskut} |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {Lasketaan ja pyöristetään \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
