Grundläggande struktur
Vi demonstrerar användningen av strukturerade härledningar med hjälp av några exempel som gradvis tillsätter metodens egenskaper.
Uppgiften är att lösa ekvationen \(3x+7=15-2x\). Vi kan manipulera ekvationen genom att addera, subtrahera, multiplicera eller dividera ekvationens båda sidor med samma tal. Målet är att få variabeln (i detta fall x) på ena sidan av ekvationen och dess värde på den andra. Eventuellt har du tidigare använt dig av följande beteckning:
\(3x+7=15-2x \) | \( -7\)
\(3x=8-2x\) | \(+2x\)
\(5x=8\) | / \(5\)
\(x=\dfrac{8}{5}\)
Ser det bekant ut? Lösningen av samma exempel med hjälp av strukturerade härledningar skulle se ut på följande sätt:
| \(\bullet\) | \(3x + 7 = 15 -2x\) |
| \(\Leftrightarrow\) | {Subtraherar 7 från båda sidor} |
| \(3x=15-2x-7\) | |
| \(\Leftrightarrow\) | {Adderar 2x till båda sidor} |
| \(3x + 2x = 15 -7\) | |
| \(\Leftrightarrow\) | {Beräknar} |
| \(5x=8\) | |
| \(\Leftrightarrow\) | {Dividerar båda sidor med 5} |
| \(x=\dfrac{8}{5}\) | |
| \(\Leftrightarrow\) | {Ändrar till blandform} |
| \(x=1\dfrac{3}{5}\) |
Lösningen har samma steg som den första versionen, men här har vi mera text som förklarar stegen samt några nya symboler.
Vilka är de grundläggande elementen för en strukturerad härledning?
Härledningen börjar med \(\bullet\)-tecknet och följs sedan av steg. Varje steg har tre delar: term, relation och motivering.
| \(3x = 15 - 2x + 7\) | Term | |
| \(\Leftrightarrow\) | {Adderar 2x till båda sidor} | Relation och motivering |
| \(3x + 2x = 15 - 7\) | Term |
Termerna är matematiska uttryck.Relationen (i vårt fall ekvivalens \(\Leftrightarrow\)) förklarar hur termerna är relaterade till varandra. Motiveringen förklarar (eller rättfärdigar) varför den första termen är relaterad till den andra.
Varje term och motivering skrivs på egen rad, så att det finns tillräckligt med utrymme för ordentliga förklaringar och längre termer. Härledningarna skrivs i två kolumner för att göra dem lättare att läsa, skriva och förstå. Relationerna skrivs i den första kolumnen och termerna och motiveringarna skrivs i den andra kolumnen.
Ovanstående steg berättar oss alltså att uttrycket \(3x = 15 - 2x + 7\) är ekvivalent (\(\Leftrightarrow\)) med uttrycket \(3x + 2x = 15 - 7\), eftersom vi adderade samma uttryck till båda sidorna av den första termen. Hela lösningen konstrueras av flera steg med en motivering till varje steg.
