Antaganden
Grundläggande strukturObservationer
I vårt första exempel krävdes endast en härledningskedja för att visa att den första termen var ekvivalent med den sista. Ibland är dock problemet svårare och det krävs att vi först kommer på en strategi för hur problemet ska lösas. Hur kan vi använda all information vi får från uppgiften?
I dessa fall använder vi oss av en mera generell struktur. Vi börjar med en beskrivning av uppgiften och därefter listar vi informationen vi har fått, d.v.s. antagandena.
Vi betecknar uppgiften med \(\bullet\)-tecknet och varje antagande med antingen en identifikationsparentes ((a), (b), ...;(ant1), (ant2), ...) eller med minustecknet -. Då vi har gjort de möjliga antagandena påbörjar vi härledningen och betecknar denna med \(\Vdash\)-tecknet (bevisas). Härledningen avslutas med \(\square\) ("vilket skulle bevisas"). Detta visar att lösandet av uppgiften har lyckats. Liksom tidigare används två kolumner för härledningen, den första bestående av relationsbeteckningarna samt andra specialtecken (t.ex. \(\bullet\), \(\Vdash\)) och den andra av termer och motiveringar.
Låt oss titta på följande uppgift:
Uppgift:
Steg 1:
Strukturerad härledning:
För att lösa uppgiften med strukturerade härledningar börjar vi med att tillägga uppgiften
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
Från uppgiftstexten får vi en hel del viktig information som behövs för att lösa uppgiften. Vi vet
- att golvet ska målas två gånger,
- rummens dimensioner, och
- färgåtgången.
Till härledningen tilläggs denna information som antaganden, vilket leder till att all information som behövs för att lösa uppgiften finns på samma ställe.
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt och \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
Efter att vi har listat alla antaganden kan vi börja lösa uppgiften. Vi betecknar lösningen/bevisets början med \(\Vdash\)-tecknet och definerar därefter vad det är vi vill beräkna. I textuppgifter måste vi ofta tänka efter, innan vi vet exakt vad vi är ute efter. Om vi ser på uppgiften är frågan "Hur mycket färg måste Pelle köpa..?" Det är alltså färgmängden vi ska beräkna.
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | färgmängd som behövs |
Efter detta löser vi uppgiften stegvis. Hur kan vi med hjälp av vår infromation beräkna färgmängden som behövs? Den kan beräknas med hjälp av golvets area och färgåtgången.
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | färgmängd som behövs |
| \(=\) | {färgmängd som behövs (\(l\) ) = area (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) färgåtgång (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), från antagande (a) får vi att arean är 2\(\cdot\) golvets area och från antagande (d) fås färgåtgången} |
| \(2\cdot\) golvets area \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) |
Golvets area kan beräknas med hjälp av dess dimensioner.
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | färgmängd som behövs |
| \(=\) | {färgmängd som behövs (\(l\) ) = area (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) färgåtgång (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), från antagande (a) får vi att arean är 2\(\cdot\) golvets area och från antagande (d) fås färgåtgången} |
| \(2\cdot\) golvets area \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {golvets area = kökets area + vardagsrummets area. Area beräknas med formeln längd \(\cdot\) bredd, måtten får vi från antaganden (b) och (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) |
Sedan gär vi beräkningarna.
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | färgmängd som behövs |
| \(=\) | {färgmängd som behövs (\(l\) ) = area (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) färgåtgång (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), från antagande (a) får vi att arean är 2\(\cdot\) golvets area och från antagande (d) fås färgåtgången} |
| \(2\cdot\) golvets area \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {golvets area = kökets area + vardagsrummets area. Area beräknas med formeln längd \(\cdot\) bredd, måtten får vi från antaganden (b) och (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | \(=\) | {Beräknar} |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {Beräknar och avrundar \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
Vi kan givetvis även anvönda förkortningar för våra variabler. Om vi exempelvis betecknar färgmängden som behövs med \(x\) och färgåtgången i medeltal med \(k\), så ser lösningen ut på följande sätt:
| \(\bullet\) | Hur mycket färg (\(x\)) behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt och \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(k=\frac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | färgmängd som behövs |
| \(=\) | {\(x\) (\(l\) ) = area (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) \(k\) (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), från antagande (a) får vi att arean är 2\(\cdot\) golvets area och från antagande (d) fås (\(k\))} |
| \(2\cdot\) golvets area \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {golvets area = kökets area + vardagsrummets area. Arean beräknas med formeln längd \(\cdot\) bredd, måtten fås från antaganden (b) och (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | \(=\) | {Beräknar} |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {Beräknar och avrundar \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
