Observationer
Vi fortsätter med målar-problemet, men nu använder vi oss även av observationer. Genom att använda antagandena kan vi härleda tilläggsinformation (observationer). En observation är en direkt implikation av antaganden eller av andra observationer. Exempelvis kan vi beräkna arean av golvet genom att använda golvets dimensioner. I detta fall är våra observationer om golvets area baserade på två antaganden: vardagsrummets dimensioner och kökets dimensioner. Vi förkortar härledningen genom att skriva ner detta som en observation. Dessutom kan vi använda observationerna flera gånger utan att behöva motivera dem varje gång.
Strukturen är densamma som tidigare, med några tillägg. Observationerna listas efter antagandena och betecknas med antingen identifikationsklamrar ([1],[2], ...; [obs1], [obs2], ...) eller med plustecknet \(+\). Den största skillnaden till antagandena är den att observationerna måste motiveras.
Vi tittar på samma uppgift som tidigare och lägger till observationer i vår lösning:
Uppgift:
Steg 1:
Strukturerad härledning:
Utan observationer löste vi Pelles målarproblem såhär:
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | färgmängd som behövs |
| \(=\) | {färgmängd som behövs (\(l\) ) = area (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) färgåtgång (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), från antagande (a) får vi att arean är 2\(\cdot\) golvets area och från antagande (d) fås färgåtgången} |
| \(2\cdot\) golvets area \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {golvets area = kökets area + vardagsrummets area. Area beräknas med formeln längd \(\cdot\) bredd, måtten får vi från antaganden (b) och (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | \(=\) | {Beräknar} |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {Beräknar och avrundar \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
Golvets area beräknades som en del av härledningen, men om vi nu vill beräkna den färdigt inför lösandet av uppgiften, så tillägger vi den som en observation:
- Vardagsrummets area
- Kökets area
- Total area som ska målas (vardagsrum + kök)
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| \(\Vdash \) | färgmängd som behövs |
| \(=\) | {färgmängd som behövs (\(l\) ) = area (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) färgåtgång (\(\frac{l}{m^{2}}\) ), från antagande (a) får vi att arean är 2\(\cdot\) golvets area och från antagande (d) fås färgåtgången} |
| \(2\cdot\) golvets area \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {golvets area = kökets area + vardagsrummets area. Area beräknas med formeln längd \(\cdot\) bredd, måtten får vi från antaganden (b) och (c)} |
| \(2\cdot(5m\cdot3m+2m\cdot1m)\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | \(=\) | {Beräknar} |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {Beräknar och avrundar \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
I härledningen listas observationerna efter antagandena. Vi börjar med att skriva en beteckning. Efter beteckningen ([1]) skriver vi den första delen av observationen, dess motivering...
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| [1] | {Vardagsrummets area fås från antagande (b)} |
... och på raden efter motiveringen skrivs den andra delen av observationen, observationen själv.
I detta exempel är observationen vi gjort enkel, likaså beräkningarna tillhörande den. Ifall beräkningarna till en observation är svåra, så kan man även räkna dem som en egen strukturerad härledning
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| [1] | {Vardagsrummets area fås från antagande (b)} |
| Vardagsrummets area är \(5 m \cdot 3 m = 15 m^{2}\) |
Efter detta gör vi ännu två nya observationer.
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| [1] | {Vardagsrummets area fås från antagande (b)} |
| Vardagsrummets area är \(5 m \cdot 3 m = 15 m^{2}\) | |
| [2] | {Kökets area fås från antagande (c)} |
| Kökets area är \(2 m \cdot 1 m = 2 m^{2}\) | |
| [3] | {Den totala arean som ska målas fås från observationerna [1] och [2]} |
| Den totala arean som ska målas är \(15 m^{2} + 2 m^{2} = 17 m^{2}\) |
Då alla observationer är på plats kan vi fortsätta med själva härledningen. Då observationerna används i härledningen refererar vi till dem på samma sätt som antagandena
| \(\bullet\) | Hur mycket färg behövs för att måla golvet? |
| (a) | golvet ska målas två gånger |
| (b) | vardagsrummet är \(5m\) långt och \(3m\) brett |
| (c) | köket är \(2m\) långt \(1m\) brett |
| (d) | färgåtgången är i medeltal \(\dfrac{1l}{5m^{2}}\) |
| [1] | {Vardagsrummets area fås från antagande (b)} |
| Vardagsrummets area är \(5 m \cdot 3 m = 15 m^{2}\) | |
| [2] | {Kökets area fås från antagande (c)} |
| Kökets area är \(2 m \cdot 1 m = 2 m^{2}\) | |
| [3] | {Den totala arean som ska målas fås från observationerna [1] och [2]} |
| Den totala arean som ska målas är \(15 m^{2} + 2 m^{2} = 17 m^{2}\) | |
| \(\Vdash \) | mängden färg som behövs |
| \(=\) | {mängden färg som behövs (\(l\) ) = area (\(m^{2}\) ) \(\cdot\) färgåtgång i medeltal (\(l / m^{2}\) ), från antagande (a) får vi att arean är 2\(\cdot\) golvets area och från antagande (d) fås färgåtgången} |
| \(2\cdot\) golvets area \((m^{2})\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(=\) | {golvets totala area fås från observation [3] } |
| \(2\cdot17m^{2}\cdot\frac{1l}{5m^{2}}\) | |
| \(\approx\) | {Beräknar och avrundar \(m^{2}\) } |
| \(7l\) | |
| \(\square\) |
